ค่ากำหนด: กรกฎาคม 2013

ค่ากำหนด

(Determinant)

ดีเทอร์มิแนนต์

ในพีชคณิ ดีเทอร์มิแนนต์(determinant) คือฟังก์ชันหนึ่งที่ให้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ซึ่งขึ้นอยู่กับค่าของ n ในมิติ n×n ของเมตริกซ์จัตรัส A ส่วนความหมายทางเรขาคณิตเบื้องต้น ดีเทอร์มิแนนต์คือตัวประกอบมาตราส่วน(scale factor) ของปริมาตร เมื่อ A ถูกใช้เป็นการแปลงเชิงเส้น ดีเทอร์มิแนนต์เป็นสิ่งที่สำคัญสำหรับทั้งพีชคณิตเชิงหลายเส้น (multilinear algebra) และแคลคูลัส ซึ่งใช้สำหรับกฎการแทนที่(substitution rule) ในตัวแปรบางกลุ่ม

สัญกรณ์

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A สามารถเขียนแทนได้ด้วย det (A) หรือ |A| ซึ่งสัญกรณ์แบบขีดตั้งอาจเกิดความกำกวม เนื่องจากมีการใช้สัญกรณ์เดียวกันนี้สำหรับค่าประจำเมตริกซ์เขียนด้วยสัญกรณ์แบบขีดตั้งสองขีด (เช่น ‖A‖) เพื่อไม่ให้เกิดความสับสนกับดีเทอร์มิแนนต์

ตัวอย่าง

การใช้งาน กำหนดให้ A เป็นเมทริกซ์ดังนี้

ดีเทอร์มิแนนต์ของ A สามารถเขียนเป็น

กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 2×2

จะมีดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ

ซึ่งแปลความหมายได้ว่า เป็นการหาพื้นที่ของรูปสีเหลี่ยมด้านขนานซึ่งมีจุดสุดยอดอยู่ที่ (0, 0), (a, b), (a+c, b+d), และ (c, d) เมื่อเมทริกซ์นั้นมีสมาชิกเป็นจำนวนจริง พื้นที่ที่คำนวณได้จากดีเทอร์มิแนนต์เหมือนกับพื้นที่ในเรขาคณิต แต่ต่างกันตรงที่ผลลัพธ์จะออกมาเป็นค่าติดลบ ถ้าหากจุดยอดเหล่านั้นเรียงลำดับตามเข็มนาฬิกา

รูป สี่เหลี่ยมด้านขนานจากเมทริกซ์มิติ 2×2 เพื่ออธิบายค่าของดีเทอร์มิแนนท์

เมทริกซ์จัตุรัสทั่วไป

ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จัตุรัสทั่วไปสามารถคำนวณได้จากการกระจายลาปลัส บนแถวหรือคอลัมน์หนึ่งๆ ซึ่งมีประสิทธิภาพสำหรับเมทริกซ์มิติน้อย ดีเทอร์มิแนนต์จากสูตรของลาปลัสโดยพิจารณาบนแถวที่ i คำนวณได้จาก

กำหนดให้เมทริกซ์มิติ 3×3

ด้วยการกระจายลาปลัส (หรือการกระจายโคแฟกเตอร์) บนแถวแรกของเมทริกซ์ เราจะได้

ซึ่งสูตรนี้สามารถจำได้จากการนำผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงลง ลบด้วยผลบวกของผลคูณของสมาชิกสามตัวในแนวเฉียงขึ้น (ลงบวก ขึ้นลบ) โดยคัดลอกสองหลักแรกไปต่อท้ายเมทริกซ์เดิม ดังที่แสดงไว้ดังนี้

เมื่อ $M_{i,j}$ คือไมเนอร์(minor) บนแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A นั่นคือค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ย่อยที่ตัดสมาชิกแถวที่ i หลักที่ j ออกไปทั้งหมด ส่วน $C_{i,j}$ คือโคแฟกเตอร์(cofactor) บนแถวที่ i หลักที่ j ของเมทริกซ์ A ซึ่งมีค่าเท่ากับ $(-1) ^{i+j}$ คูณด้วยไมเนอร์ ดังเช่นที่ปรากฏอยู่ในสูตร

การหาดีเทอร์มิแนนต์ของเมคริกซ์